Discrete Probability3

최대 1 분 소요

Random Variables

Random Variable
- function
  - preimage: sample space of an experiment
  - image: the set of real numbers
- 각 가능한 결과에 실수가 할당

Expected Value (기댓값)
- X(s): 랜덤변수
- S: sample space
Theorem 1
- p(X = r): 랜덤변수 X = r일 때 확률(probability)
Theorem 2
- 성공의 기댓값 = np
  - n: 상호 독립적인 베르누이 시행이 수행될 때,
  - p: 각 시행의 성공 확률
Theorem 3
- Linearity of Expectations
  - E(X1+X2+⋯ +Xn) = E(X1) + E(X2) + ⋯ + E(Xn)
  - E(aX + b) = aE(X) + b
Theorem 4
- Geometric Distribution(기하분포)
  - 동일한 베르누이 분포를 따르는 시행의 독립적인 반복에서 처음으로 성공하기까지의 시도횟수를 확률변수로 가지는 분포
- p(X = k) = (1-p)^(k-1)p
- E(X) = 1/p
Theorem 5
- Independent Random Variables
  - 𝑝(𝑋 = 𝑟1 and 𝑌 = 𝑟2) = 𝑝(𝑋 = 𝑟1)∙𝑝(𝑌 = 𝑟2) -> 랜덤변수 X와 Y는 독립
- 랜덤변수 X와 Y는 독립 -> E(XY) = E(X)E(Y)

편차(Deviation)
- X(s) - E(X)
분산(Variance)
- 편차 제곱의 가중 평균
- 표준 편차 𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋)
Theorem
- V(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Corollary
- E(X) = 𝜇, then 𝑉(𝑋) = 𝐸((𝑋 − 𝜇)^2)
Bienaymé‘s Formula
- V(𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋n) =V(𝑋1) +V(𝑋2) +⋯+ V(𝑋n)
- V(Xi) = pq
- V(X) = npq
Chebyschev’s Inequality(체비쇼프의 부등식)
- 𝑝(|𝑋(𝑠) − 𝐸(𝑋)|≥𝑟) ≤ V(𝑋)/𝑟^2